当债务人离世之时，若其不幸留下遗产，那么首先务必将此遗产用以偿付所有遗留之债款。倘若此类遗产已然按照法定程序进行了分配与继承，则每一位继承人须得依据自身所分得的遗产份额来负责承担已故被继承人生前所产生的合法债务。
然而，若遗产的总额无法完全覆盖所有债务，继承人可选择自愿偿还剩余欠款，否则，未能得到清偿的债权将会自动消失。
根据现行的相关法律法规，在对遗产进行分割时，必须优先清偿被继承人依法应当缴纳的税款以及债务；但同时，也需为那些既无劳动能力又无生活来源的继承人保留必要的遗产份额。依照同样的法律规定，继承人仅能以所得遗产的实际价值为上限，来清偿被继承人依法应当缴纳的税款及债务。对于超出遗产实际价值的部分，如有继承人自愿偿还，则不受此限制。
《民法典》第一千一百五十九条
分割遗产，应当清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务；
但是，应当为缺乏劳动能力又没有生活来源的继承人保留必要的遗产。
第一千一百六十一条
继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。
超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。